正如毕达哥拉斯及其学派所认为的那样，数本身就是美的。数学的整个领域都是及其浪漫的，无处不充满了高维度的纯美。而完全数就是这美的代表(有没有人反对？) 完全数(perfect number),又称完美数，完满数，指的是具有如下特性的数：即该数所有真约数(除了该数本身之外的约数)之和为该数本身。多么简单的特性，只需一行字便可以表述。然而在简洁的背后，却有着丰富的内涵与无穷的吸引力。(事实上，就如同费马大定理一样，简洁的表述与困难的解法正是衡量一个数学问题魅力的标准。)举例来说：6＝1＋2＋3，28＝1＋2＋4＋7＋14。如果你有兴趣，可以验证496与8,128是接下来的两个次小的完全数。古希腊人就知道这么多，虽然他们为没能看到一个奇数完全数而遗憾。不过，富于想象力的希腊人还是从这几个数中看到了一些有趣的东西。比如它们分别为1位，2，3，4位数，而且尾数是6或8, 交替出现。于是他们推测（美丽的起步): 第n个完全数将是n位数，而且尾数是6或8，并江交替出现。个人而言，我对古希腊人充满了景仰。爱琴海湛蓝的海水竟能孕育出苏，柏，亚等照耀全世界文明的哲人，与旷世唯一的欧几里德，和那许多动人的人神传说。我曾不止一次地幻想头顶一个水罐，象个奴隶(文明的奴隶)般地倘佯在雅典的街头...  


　　完全数之迷之古希腊人的猜测

　　上回书说到古希腊人对完全数的两个猜测，而且表面上颇有令人心动的号召力，但遗憾的是，随着人们发现了更多的完全数，这两个猜测也不攻自破了。第五个完全数是33，550，336，是个8位数(而不是5位)。接下去的三个完全数分别为：8,589,869,056(10);137,438,691,328(12);2,305,843,008,139,952,128(19). 可以看到，完全数的位数在迅速增多，希腊人的猜测显然偏离了方向。事实上，第30个完全数赫然是个13万位的庞然大物。而假设之二也不成立，因为第5，6个完全数的尾数都是6，并非以6，8交替出现。但是，虽然时至今日，科学家们已经知道了30个完全数，其尾数仍然没能突破6或8的模式。这一次，古希腊人猜对了吗？谁知道呢？

　　ps:现在发现了38个完全数。


　　完全数之迷之欧几里德的公式

　　提到完全数，就不能不说说欧几里得和他在这个领域的天才闪现。当时，古希腊人只知道4个完全数，当伟大的欧几里得竟从中看到了这样一个公式：2^(n-1)*(2^n-1),当n分别取2，3，5，7时，该公式就分别得出了6，28，496和8128 ---- 前4个完全数！(赞美欧几里得吧，他无愧于一切的赞美！)更仔细地审视这个公式，我们会发现更多有趣的东西：当以这个公式得出前4个完全数的时候，n为2，3，5，7，全是素数！不奇怪吗？而事实上，此时的2^n-1也分别取3，7，31，127，也竟然全为素数!偶然的背后，是否隐藏着某些本质的东西呢？记得在大约两个月前的一篇文章里，我曾经给出过一个证明，既2^n-1为素数的必要条件是n为素数。(不好意思，不是我证的。)但n为素数并非充分条件。举例来说：当n=11时, 2^n-1=2047=23*89.而欧几里得则证明了，一旦2^n-1为素数，该公式将导出一个完全数。在那2000年后的18世纪，一位瑞士的数学家尤勒更进一步地证明了该公式将给出全部的偶数完全数！非常令人振奋的结果吧！但人们继而有两个问题要问。其一，偶数完全数是否是无穷的？2^n-1为素数的条件是什么？其二，是否存在奇数完全数？虽然江山代有才人出，但遗憾的是，这两个问题仍悬而未决。在接下来的篇章里，我将分别论述这两大谜团。


　　完全数之迷之奇数完全数

　　花开两朵，各表一枝。这回先讲讲奇数完全数的故事。(因为关于奇数完全数的资料只搞到一点，一次灌完算了)简单地讲，奇数完全数之所以吸引人，只是因为至今人民还不曾找到一个。 然而就如同夸克的故事一样，至今也没有一个人敢壮着胆子说一声：“这玩意儿根本就不存在！”欧几里德给出了能导出所有偶数完全数的公式(虽然他还没来得及指明在何种条件下，该公式必能导出一个偶数完全数)。不过人们一直还没有求得一个奇数完全数。敏感好奇的科学家们孜孜以求，所得也只不过是一些周边的限制条件(不过这些限制条件看起来很令人吃惊)。总地来说，如果确实存在奇数完全数的话，它至少要满足以下条件：1。至少能被8个素数整除，其中最大的一个应大于300,000。次大的也要大于1,000.2。若它不能被3整除，它至少应被11个素数整除。3。它是12k+1的形式。4。它是36k+9的形式。另外还有人借助计算机证明了，在10^50之下不存在奇数完全数。而据说这个下限正渐渐地被往上推。记得几个月前，我似乎在哪儿又看到了有关的最新消息，可惜，我忘记了。恐怕有人不禁要问一声:"老兄，到底奇数完全数存不存在？" 问地好！但这就是游戏规则。你不能证明他对，并不意味着你能说他错。当你忘不了一个人的时候，爱上他吧！当你找不到奇数完全数的时候，忘了他吧！


　　完全数之迷之梅森素数

　　在初等数论领域里，曾有许多才智出群的业余数学天才活跃一时(现在的数学越来越专门艰深，我作一个业余数学家的梦想也终遭幻灭).费马，梅森，etc. 今天要讲的梅森，就同完全数有着千丝万缕的联系。梅森，17世纪时的一位法国神职人员，把所有的业余时间都用在了对数学的钻研上，并因在所谓的梅森素数上的成就而载名史册。所谓的梅森素数，就是指形如2^n-1的素数. 读过前文的虫虫一定会眼前一亮：咦? 这不是欧几里德
公式里的关键部分吗!不错，根据欧几里德的公式，每求得一个梅森素数，就自动会得到一个偶数完全数。梅森在1644年说，2^13-1,2^17-1和2^19-1这三个梅森数都是素数，他还断言，2^67-1也是素数！在接下来的250年里，没有人敢对这一大胆的声言提出疑问(他们没有计算机!)(以下全文摘抄于<<阿基米德的报复>>一书)1903年，在美国数学协会的一次会议上，哥伦比亚大学教授科尔提交了一篇慎重的论文，题目为：论大数的分解
因子。数学史家贝尔记下了这一时刻所发生的事:"一向沉默寡言的科尔走上台去，不言不语地开始在黑板上计算2^67.然后小心地减去1，得到一个21位的庞然大物：147,573,952,589,676,412,927. 他仍一语不发地移道黑板上的空白处，一步步作起了乘法运算:193,707,721*761,838,257,287.两次计算结果相同。梅森的猜想--假如确曾如此的话--就此消失在数学神话的废物堆里了。据记载，这是第一次也是唯一的一次，美国数学协会的一位听众在宣读论文之前向其作者热烈欢呼。科尔一声不吱在他座位上坐下，没有人向他提任何问题."